在一个因变量取了对数的回归问题中，最小二乘估计如下：$\ln(y)=3+0.2x$ ,则系数估计“0.2”的含义是，自变量x每增长1单位对应的相关关系为：

A，变量y平均来说变为$e^{0.2}$倍

B，变量y平均增长20%

C，变量y的中位数变为$e^{0.2}$倍

以上是三种常见的答案。很难想象，一个如此初级简单的问题在不同大学不同课本的答案居然不一样?！

A项是明显错误的，无视了回归方程里随机部分(原回归方程误差项里的，或系数估计里的)，搞成了解初中方程。根据琴生不等式$\exp(E(·))<E(\exp(·))$，这里严格的小于号实际上会造成相当的低估误差。可以随便跑code感受一下(附文末)。用如果哪个数据分析书这么写，大概是不搞统计的数据科学家们的手笔??…话虽如此，A选项仍有一定修正余地。正态分布取指数后服从对数正态分布，有可计算的期望从而可以适当操作一下修偏。但这对误差项的正态分布有刚性要求，不像一般的线性无偏性并不需要完整分布信息。如果误差项不满足正态，需计算一些相关bound，这是把大一入门统计问题升级为research topic，不太划算。

B项的本质是试图在刻画原关系式的一个特点：$y’/y=\beta_1$
选项措辞涉及到几个歧义项：增长率，增长速度，增长速率，需要先解决语文问题。问题出在“率”这个字上，一般用来表达“除以了什么东西”，但是除以自变量微分是速率，除以变量本身是比率，那y的微分除以y叫啥?可以考虑(dy/dx)/y=(dy/y)/dx，一种理解是y的增长比率的增长速率，这并不是个常用的、好理解的概念…而原选项的描述指的是增长率显然欠妥，但这的确是个常见的说法。它来自于(Δy/y)/Δx在分母x增量为1下的近似…然而这种近似的无偏性就崩坏了。因为: $E((Δy/y)/Δx)=E((y_1-y_0/y_0)/1)=E[exp(β_0+β_1(x+1)+ε)/exp(β_0+β_1x+η)]-1$ $=exp(β1)E(exp(ε-η))-1$ （该推导是关于原回归方程的，其中η和ε为iid的随机误差项。对于最小二乘估计值$\hat{y}$ 和$\hat{ beta}$的相关证明推导是类似的，留作习题,下同） 最后又回到A选项类似问题了。不但绕不开对数正态分布变量期望的估量来修偏，而且还涉及有误差的泰勒展开e^β≈1+β，当然是错上加错了。B选项这里β含义的偏差随|β|或误差项方差的增大而增大。

C项是我们学校教的。但我觉得也是神坑，因为这个坑极少被正式填过(很有我校统计风采)，教授课上说它是对的但也很少给证明。原理很简单，对分位数取单调递增函数并不改变其分位数，比如小明考班上第十名，之后全班所有人成绩开根号/取对数/取指数，小明还将是第十名。以中位数为例，写成公式就是 $Median(y_1/y_0)=Median[\exp(β_0+β_1(x+1)+ε)/\exp(β_0+β_1x+η)]$ $=Median[\exp(β_1+ε-η)]v $=\exp(β)\exp(Median[ε-η])) $

其中最后一步需添加假设误差变量是对称分布的，便可完成无偏性的证明。推导并不难但是出镜率极低，因为它卡在了一个尴尬的位置：更低的完全不在乎对数变换的理论合理性，反正数据“做”成长得像normal就行了；更高的有更合理的approach解决问题，尤其忌讳强行用低级工具解决它不能解决的问题。所以取对数这种流氓操作的justification从上到下就没人在乎了。

这里悄悄给本科教授Lele点个赞，他在回归分析课上经常强调非线性变换的不必要性。

附r code


x<-seq(1.0001,9,0.0001)
n<-length(x)
y<-exp(3-1.2*x+0.9*rnorm(n))
mean(log(y)[(1+1/0.0001) :n ]-log(y)[1:(n-1/0.0001)])#approx. = -1.2. Linear regression works.
log(mean(y[(1+1/0.0001) :n ]/y[1:(n-1/0.0001)]))#A's interpretation. About -0.39, far from the true parameter -1.2
#Difference of 0.81 is not by coincidence. Since the calculation introduces the difference of two N(0,0.81),giving a sigma_square of 2*0.81 to the lognormal distribution and its expectation then becomes exp(0.5*(2*0.81))=exp(0.81) 
mean(y[(1+1/0.0001) :n ]/y[1:(n-1/0.0001)])#B's interpretation. About 0.67, far from the true parameter (1-1.2)=-0.2. Likewise it is due to exp(-1.2)*exp(0.81)...
log(median(y[(1+1/0.0001) :n ]/y[1:(n-1/0.0001)]))#C's interpretation. About -1.2, which is the true parameter.

后记： 写到一半我忽然感觉好像这一幕似曾相识，搜了下朋友圈发现六年前原来想过这个问题。唉～光阴似箭